Concentration d'un médicament

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L \(^{-1}\)  au cours du temps \(t\) , exprimé en heure, est modélisée par la fonction \(f\)  définie sur \([0~;~+ \infty[\)  par  \(f(t) = t\text e^{-0,5t}\)  dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

1. Calculer la valeur exacte de \(f(4)\)  et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

2. On note \(f'\)  la fonction dérivée de \(f\) . Montrer que, pour tout \(t\in [0~;~+\infty[\) , \(f'(t) = (1 - 0,5t)\text e^{-0,5t}\) .

3. Étudier le signe de \(f'(t)\)  sur \([0~;~+ \infty[\) .

4. Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction  \(f\)  sur \([0~;~+ \infty[\) .

5. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à \(10^{-2}\)  près.